Diseño de filtros Butterworth

En aplicaciones que utilizan filtros para dar forma al espectro de frecuencia de una señal, como en los sistemas de control o comunicaciones, la forma o el ancho del roll-off también se denomina «banda de transición», ya que un filtro simple de primer orden puede ser demasiado largo o se requieren filtros anchos y tan activos diseñados con más de un «orden». Estos tipos de filtros se conocen comúnmente como filtros de «orden superior» o «n-ésimo orden».

La complejidad o tipo de filtro se define por el «orden» de los filtros, y que depende del número de componentes reactivos como condensadores o inductores dentro de su diseño. También sabemos que la tasa de caída y, por lo tanto, el ancho de la banda de transición, depende del número de orden del filtro y que para un filtro simple de primer orden tiene una tasa de caída estándar de 20 dB / de cada o 6 dB. /octava.

Luego, para un filtro que tiene un n-ésimo orden numérico, tendrá una tasa de caída posterior de 20n dB / de cada o 6n dB / octava. Entonces, un filtro de primer orden tiene una tasa de caída de 20dB / de cada (6dB / octava), un filtro de segundo orden tiene una tasa de caída de 40dB / de cada (12dB / octava) y un filtro de cuarto orden tiene una tasa de caída de 80dB / de cada (24dB / octava), etc.

Los filtros de orden superior, como el de tercer, cuarto y quinto orden, se forman normalmente conectando en cascada filtros individuales de primer y segundo orden.

Por ejemplo, dos filtros de paso bajo de segundo orden se pueden conectar en cascada para producir un filtro de paso bajo de cuarto orden, y así sucesivamente. Aunque no hay límite para el orden del filtro que se puede formar, a medida que aumenta el orden también aumenta su tamaño y costo, también disminuye su precisión.

Décadas y octavas

Un comentario final sobre Decadas y Octavas. En la escala de frecuencia, una De cada es un aumento de diez veces (multiplicar por 10) o una disminución de diez veces (dividir por 10). Por ejemplo, de 2 a 20 Hz representa una década, mientras que de 50 a 5000 Hz representa dos décadas (de 50 a 500 Hz y luego de 500 a 5000 Hz).

Una octava es duplicar (multiplicar por 2) o dividir a la mitad (dividir por 2) la escala de frecuencia. Por ejemplo, 10 a 20 Hz representan una octava, mientras que 2 a 16 Hz son tres octavas (2 a 4, 4 a 8 y finalmente 8 a 16 Hz) duplicando la frecuencia cada vez. De cualquier manera, las escalas logarítmicas se utilizan ampliamente en el dominio de la frecuencia para indicar un valor de frecuencia cuando se trabaja con amplificadores y filtros, por lo que es importante comprenderlos.

Escala de frecuencia logarítmica

Dado que las resistencias que determinan la frecuencia son todas iguales, y al igual que los condensadores que determinan la frecuencia, la frecuencia de corte o de esquina ( ƒC ) para un filtro de primer, segundo, tercer o incluso de cuarto orden también debe ser igual y se encuentra usando nuestra ecuación familiar ahora vieja:

Al igual que con los filtros de primer y segundo orden, los filtros de paso alto de tercer y cuarto orden se forman simplemente intercambiando las posiciones de los componentes que determinan la frecuencia (resistencias y condensadores) en el filtro de paso bajo equivalente. Los filtros de orden alto se pueden diseñar siguiendo los procedimientos que vimos anteriormente en los tutoriales de filtros de paso bajo y filtro de paso alto. Sin embargo, la ganancia general de los filtros de orden superior es fija porque todos los componentes que determinan la frecuencia son iguales.

Aproximaciones de filtros

Hasta ahora hemos analizado los circuitos de filtro de primer orden de paso alto y bajo, sus respuestas de fase y frecuencia resultantes. Un filtro ideal nos daría especificaciones de ganancia y planitud de banda de paso máxima, atenuación de banda de parada mínima y también una banda de paso muy pronunciada para detener la caída de banda (la banda de transición) y, por lo tanto, es evidente que una gran cantidad de respuestas de red para satisfacer estos requisitos.

No es sorprendente entonces que haya una serie de «funciones de aproximación» en el diseño de filtros analógicos lineales que utilizan un enfoque matemático para aproximar mejor la función de transferencia que requerimos para el diseño de filtros.

Dichos diseños se conocen como elípticos, Butterworth, Chebyshev, Bessel, Cauer y muchos otros. De estas cinco funciones de aproximación de filtro analógico lineal «clásicas», sólo el filtro Butterworth y especialmente el filtro Butterworth de paso bajo de diseño se considerarán aquí como la función más utilizada.

Diseño de filtro Butterworth de paso bajo

La respuesta de frecuencia del filtro Butterworth de la función de aproximación también se conoce como respuesta «máximamente plana» (sin ondulaciones) porque la banda de paso está diseñada para tener una respuesta de frecuencia lo más plana posible matemáticamente desde 0Hz ( DC) hasta la frecuencia de corte en -3dB sin ondulaciones. Las frecuencias más altas más allá del punto de corte se reducen a cero en la banda de parada a 20dB / década o 6dB / octava. Esto se debe a que tiene un «factor de calidad», «Q» de solo 0,707.

Sin embargo, una desventaja principal del filtro Butterworth es que logra esta planitud de banda de paso a expensas de una banda de transición ancha cuando el filtro cambia de la banda de paso a la banda de parada. También tiene características de fase deficientes, la respuesta de frecuencia ideal, conocida como filtro de “pared de ladrillos”, y las aproximaciones estándar de Butterworth, para diferentes órdenes de filtro se dan a continuación:

Respuesta de frecuencia ideal para un filtro Butterworth

Tenga en cuenta que cuanto mayor sea el orden del filtro Butterworth, mayor será el número de etapas en cascada dentro del diseño del filtro, y más se acercará el filtro a la respuesta ideal de “pared de ladrillos”.

Sin embargo, en la práctica, la respuesta de frecuencia ideal de Butterworth es inalcanzable ya que produce una ondulación excesiva de la banda de paso.

Donde la ecuación generalizada representa un filtro Butterworth de orden «n-ésimo», la respuesta de frecuencia se da como:

Donde: n representa el orden del filtro, Omega ω es igual a 2πƒ y Epsilon ε es la ganancia máxima de banda de paso, (Amáx). Si Amax se define a una frecuencia igual al punto de corte de -3dB en la esquina (ƒc), ε será igual a uno y, por lo tanto, ε2 también será uno. Sin embargo, si ahora desea definir Amax con un valor de ganancia de voltaje diferente, por ejemplo 1dB, o 1.1220 (1dB = 20 * logAmax), entonces el nuevo valor de épsilon, ε se encuentra por:

Donde:  H0 = la ganancia máxima de paso de banda, Amáx.  H1 = Ganancia mínima de paso de banda.

Transpone la ecuación para dar:

La respuesta de frecuencia de un filtro se puede definir matemáticamente por su función de transferencia con la función de transferencia de voltaje estándar H (jω) escrita como:

Donde:  Vout = voltaje de la señal de salida.  Vin  = voltaje de la señal de entrada.     j   = la raíz cuadrada de -1 (√-1)    ω  = la frecuencia en radianes (2πƒ)

Nota: (jω) también se puede escribir como (s) para denotar el dominio S. y la función de transferencia resultante para un filtro de paso bajo de segundo orden se da como:

Polinomios de filtro Butterworth de paso bajo normalizados

Para ayudar en el diseño de sus filtros de paso bajo, Butterworth produjo tablas estándar de polinomios de paso bajo normalizados de segundo orden dados los valores de coeficiente que corresponden a una frecuencia de corte de 1 radián / seg.

n	Polinomios de denominador normalizado en forma factorizada
1	(1 + s)
2	(1 + 1.414s + s2)
3	(1 + s) (1 + s + s2)
4	(1 + 0.765s + s2) (1+ 1.848s + s2)
5	(1 + s) (1 + 0.618s + s2) (1 + 1.618s + s2)
6	(1 + 0.518s + s2) (1 + 1.414s + s2) ( 1 + 1,932 s + s2)
7	(1 + s) (1 + 0,445 s + s2) (1 + 1,247 s + s2) (1 + 1,802 s + s2)
8	(1 + 0,390 s + s2) (1 + 1,111 s + s2) (1 + 1,663 s + s2) (1 + 1,962 s + s2)
9	(1 + s) (1 + 0,347 s + s2) (1 + s + s2) (1 + 1,532 s + s2) (1 + 1,879 s + s2)
10	(1 + 0,313 s + s2) (1 + 0,908 s + s2) (1 + 1,414 s + s2) (1+ 1.782s + s2) (1 + 1.975s + s2)

Diseño de filtro – Paso bajo de Butterworth

Encuentre el orden de un filtro Butterworth de paso bajo activo cuyas especificaciones se dan como: Amáx = 0.5dB a una frecuencia de banda de paso (ωp) de 200 radianes / seg (31,8 Hz), y Amin = -20dB a una frecuencia de banda de parada (ωs) de 800 radianes / seg. Diseñe también un circuito de filtro Butterworth adecuado para cumplir con estos requisitos.

En primer lugar, la ganancia máxima de banda de paso Amax = 0.5dB que es igual a una ganancia de 1.0593, recuerde que: 0.5dB = 20 * log (A) a una frecuencia (ωp) de 200 rads / s, entonces el valor de epsilon ε se encuentra por:

En segundo lugar, la ganancia mínima de banda de parada Amin = -20dB que es igual a una ganancia de 10 (-20dB = 20 * log (A)) a una frecuencia de banda de parada (ωs) de 800 rads / o 127,3Hz.

Sustituir los valores en la ecuación general para una respuesta de frecuencia de los filtros Butterworth nos da lo siguiente:

Dado que n siempre debe ser un número entero (número entero), el siguiente valor más alto a 2,42 es n = 3, por lo tanto, «se requiere un filtro de tercer orden»  para producir un tercer filtro de orden de Butterworth , una etapa de filtro de segundo orden en cascada junto con una etapa de filtrado de primer orden.

De la tabla de polinomios de Butterworth de paso bajo normalizada anterior, el coeficiente para un filtro de tercer orden se da como (1 + s) (1 + s + s2) y esto nos da una ganancia de 3-A = 1, o A = 2. Como A = 1 + (Rf / R1), elegir un valor tanto para la resistencia de retroalimentación Rf como para la resistencia R1 nos da valores de 1kΩ y 1kΩ respectivamente como: ( 1kΩ / 1kΩ) + 1 = 2.

Sabemos que la frecuencia de la esquina de corte, el punto -3dB (ωo) se puede encontrar usando la fórmula 1 / CR, pero necesitamos encontrar ωo de la frecuencia de banda de paso ωp entonces,

Entonces, la frecuencia de corte de la esquina se da como 284 rads / so 45.2Hz, (284 / 2π) y usando la fórmula familiar 1 / CR podemos encontrar los valores de las resistencias y capacitores para nuestro circuito de tercer orden.

Tenga en cuenta que el valor preferido más cercano a 0,352 uF sería 0,36 uF o 360 nF.

Filtro de paso bajo Butterworth de tercer orden

Y finalmente nuestro circuito de filtro de paso bajo de Butterworth de tercer orden con una frecuencia de corte de 284 rads / o 45,2Hz, una ganancia máxima de banda de paso de 0,5 dB y una ganancia mínima de banda de parada de 20dB se construye de la siguiente manera.

Entonces, para nuestro filtro de paso bajo Butterworth de tercer orden con una frecuencia de esquina de 45.2Hz, C = 360nF y R = 10kΩ